标记档案:公理

的假设’欧几里得与曲率’espace

要素,欧几里得提出了几个关于平面几何的公理和定义,然后证明了一定数量的定理。在这两者之间,他假设通过给定点,他只能通过一个且仅平行于给定线的一个。从表面上看,这是一个没有证明的定理。几代数学家都试图证明这一点,但从未成功。在分析问题之前,有必要回到欧几里得公理。

的公理’Euclide

回顾欧几里得平面几何学的公理和定义将很繁琐。要了解其来源,只需返回 洞穴神话寓言,柏拉图认为现实世界充满了模型世界中其他地方的物体。同样,欧几里得的点,线和角是 主意 泥工使用它们时的真实点,线和角。什么是直线?要了解它,请像泥瓦匠一样。拿一根绳子和两个木桩。种植两个木桩并拉紧绳索。因此,您将获得它们之间的最短路径。

通过在两个木桩之间拉伸绳索,我们可以获得一条直线。

使用相同的方法和三个桩,您可以制作一个三角形,即三个角度。

通过在三个木桩之间拉伸绳索,您将获得一个三角形,然后测量角度并将其相加。如您所知,结果为180°。

有条件的证明

一个小的数字足以证明这一结果。绘制它时,除了我们的绳索和木桩外,还要为自己提供一个量角器,该量角器能够沿一条点在一条线上转移给定的角度。

考虑一个三角形ABC,使用量角器将边AB延伸到BE,并从点B延伸到直线BD,以使角度CBD等于角度ACB(均为红色)。同样,磨损直线BD,使角度EBD等于角度BAC(蓝色)。

在B中,我们用红色和蓝色报告角度,得到两条线BD和BD'。根据欧几里得的假设,这些界限很混乱。因此,在B中发现三角形ABC的角并且形成一个平角,即180°。

线BD和BD’与线AC平行(红色和黄色的角度是内部交替角度)。因此它们是相同的,因为从某一点来看,我们只能绘制与给定线平行的线。三角形ABC的三个角度因此参考B以形成平坦角度,即180°。因此,我们已经证明,如果Euclid的假设是正确的,则三角形的角度之和等于180°...。

L’idée qui dépostule

当您在纸上绘制上一个图形时,线BD和BD’混淆了。沿着BD的一半线切纸,然后将BD'移至BD,纸张会卷曲。它变得像山峰和三角形的角度之和,大于180°。相反,通过将BD'拉离BD,叶子会朝另一个方向卷曲。它变得像山pass和三角形的角度之和,小于180°。

球体上的三角形

为了发展这个想法,让我们将自己的股份,绳索,量角器和定义放到一个球体上,以不采用假定的欧几里得公理为前提。通过跟随两点之间的大圆弧可以得到两点之间的最短路径。

在球体上的直线。

在一个球体上,两个大圆圈始终相交。换句话说,两条线永远不会平行!欧几里得的假设是错误的,我们的发光示威也是如此。在这种情况下,两条直线BD和BD'不相交,角度DBD'不为零。因此,三角形的角度之和大于180°。为了使自己更具说服力,请拿一个微型地球仪,在赤道上点两个,并画出与其中一个极组成的三角形。它的角度之和等于180°加上极点处的角度,因此严格大于180°。

在球体上的三角形。通过测量其角度,我们显示它们的总和大于180°。

马鞍上的三角形

如果我们站在不同的表面,例如山pass或马鞍上,则三角形的角度之和会小于180°。在我们的演示图中,BD和BD线重叠。

在马鞍上的三角形。

诸如三角形的角度之和等于180°的平面,圆柱或圆锥等表面的曲率为零,诸如球形或椭圆体的角度之和大于180°的表面为正。曲率,以及像马鞍的角度之和小于180°的曲率为负曲率。这些表面不是欧几里得平面。

区’un cercle

同样,由于有一根木桩和一根绳子,我们可以在任何表面上绘制一个半径为R的圆。如果表面的曲率为零,则其面积等于 p R2。如果为正,则较低,否则为较高。

曲率d’un 空间

我们的三维视图使我们很容易接受这些结果。想象平面生物“卡在”二维表面上,这将是整个宇宙。无法从中出来,他看不到它的弯曲。但是,他可以画一个三角形,测量其角度,从而确定他的宇宙是正曲率,负曲率还是零曲率。

同样,在四维世界中有生命并能看见的外星人可以“看到”我们宇宙的曲率。我们为此而陷于困境。但是,存在相同的现象,我们可以对其进行测试:它足以测量一个球体的体积或一个三角形的角度之和。到目前为止,所进行的测量表明我们的宇宙曲率几乎为零。