标记档案:黎曼

非欧几何

这篇文章改编自我书的一章“环绕宇宙”还有更多插图

****************************************************** **********************

因此,也许我们有一天可能会创建新的图形
这将使我们对圣经充满信心,
为了遍历弯曲空间,非欧几里德空间。
弗朗西斯·蓬吉[1]

已知的最古老的欧几里得碎片’s元素是纸莎草纸的一部分,可追溯到托勒密时期,属于著名的亚历山大图书馆

 

在第一本书中 元素,[2] 欧几里得提出了五个“要求”,根据他的要求,它们定义了平面几何形状。这些假设将成为所有几何学的基石,这是一个绝对真理的系统,其有效性似乎无可辩驳。产生这种信念的原因之一是这些假设看起来很明显:第一个假设直线在两个点之间通过,第二个则任何线段都可以在两个方向上无限延长,第三个规定给定一个点和在一个间隔中,总是可以画出一个以点为中心并以间隔为半径的圆,第四个圆角彼此相等。但是,第五种假设不太明显:

由于内角α和β的总和小于180°,因此根据第五种假设,无限延伸的两条直线在该侧相遇。

“如果线段与两条直线相交,在同一侧上形成两个内角且总和小于两个直角,则这两条线(如果无限延长)在该边相交而小于两个直角的那一侧会合。”

 

 

尽管该语句未明确引用平行线,但当前第五种假设是“Parallel postulate”。鉴于苏格兰数学家约翰·Playfair(1748-1819)提出的第五种假设更为流行,这可以更好地理解,他证明了它等同于Euclid给出的假设:“给定一条直线和一个不属于该直线的点,则存在一条唯一的直线穿过与第一条平行的点“.

风景如画的英文版《欧几里得》’s元素,作者:奥利弗·伯恩(Oliver Byrne),1847年。

 

由于“平行假设”比其他假设更为复杂,因此,跟随欧几里得的数学家们尝试了多个世纪,试图从前面的四个假设中证明一切都是徒劳的。在19世纪,发生了一次数学史上的重大革命(以及人类思想方面的重大革命之一),这将在后面的内容中看到:两个不满足第五种假设但完全一致的新几何,被发现。在这些几何形状之一(称为球形几何形状)中,无法找到满足条件的平行线。球体的表面就是这种情况。直线成为大圆,其平面穿过球体的中心,并且由于所有大圆在两个直径相对的点(以在两极相交的陆地子午线的方式)彼此相交,因此没有“直线可以与另一个平行。[3] 在另一种称为双曲线几何的几何图中,穿过任意给定点的无数直线平行于另一条直线。 继续阅读

太空简史(3/4):从笛卡尔到施瓦茨希尔德

上一篇文章的续集 太空简史(2/4):从托勒密到伽利略

在十七世纪初,在无限空间的基础上为新的宇宙学开辟了道路。在此之前,空间的概念是按照自然的宇宙学和物理顺序来构思的,而不是作为欧几里德人物和几何构造的“背景”。换句话说,物理空间没有被数学化。感谢RenéDescartes(1596 – 1650),他的想法是用三个实数指定每个点:其坐标。引入了一种通用的坐标系统,该系统可以完全纵横交错的空间并可以测量距离,这反映了以下事实:对于笛卡尔来说,宇宙的物理内容和几何定律是统一且统一的。太空是与物质体同等的物质,是由无数涡旋搅动的无限醚,其中心是恒星及其行星系统。

雷内·笛卡尔的肖像

这种关于宇宙的新概念使哲学思想不安,并使其脱离了原子主义者和佐丹奴布鲁诺的最初热情:启发了卢克修蒂乌斯(Lucretius)六边形的绝对空间,对布鲁诺(Bruno)来说是解放的绝对空间,对帕斯卡(Pasca)来说是迷宫和深渊。l.”[5] 至于学者,他们不允许自己因这些情绪而灰心,无法抗拒地走向无限的宇宙。

使用涡旋的世界笛卡尔系统

由笛卡尔(Descartes)发起的对无限空间进行彻底几何化的趋势,是由英国人艾萨克·牛顿(Isaac 牛顿(1642-1727))完善的。牛顿假定了一个绝对空间,它不仅包括数学的背景空间和天文学的物理空间,而且还包括形而上学的空间,因为空间是“上帝的感官”。最终由几何空间确定的物理空间必定是欧几里得(在这个时代唯一已知的),在每个方向上都没有曲率,无定形和无限大。牛顿是这个固定框架的核心,从宇宙吸引定律的角度解释了天体力学,从那时起,牛顿就被认为是对万有引力和宇宙大尺度结构负责的。有了牛顿,宇宙学在无限的欧几里得空间和永恒的时间范围内扎根了两个多世纪。

1700年左右的牛顿

牛顿宇宙学还没有解决所有的问题,远非如此。例如,在关于恒星在空间中分布的问题时,牛顿认为它们必须占据有限的体积,因为他认为,如果它们占据无限的空间,它们的数量将是无限的,那么引力将是无限的,宇宙将变得不稳定。此外,牛顿还假设星星在例如星系之类的有限质量内均匀地散布。但是,仍然存在不稳定的问题:由于每个天体都被彼此吸引,至少会运动,至少会受到机械干扰,所以宇宙中的所有天体都将朝着唯一的中心坠落,并且宇宙将崩溃。牛顿’因此,只有在宇宙不允许大规模运动的情况下,宇宙才是可行的:宇宙的空间是刚性的,时间是固定的。 继续阅读