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非欧几何

这篇文章改编自我书的一章“环绕宇宙”还有更多插图

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因此,也许我们有一天可能会创建新的图形
这将使我们对圣经充满信心,
为了遍历弯曲空间,非欧几里德空间。
弗朗西斯·蓬吉[1]

已知的最古老的欧几里得碎片’s元素是纸莎草纸的一部分,可追溯到托勒密时期,属于著名的亚历山大图书馆

 

在第一本书中 元素,[2] 欧几里得提出了五个“要求”,根据他的要求,它们定义了平面几何形状。这些假设将成为所有几何学的基石,这是一个绝对真理的系统,其有效性似乎无可辩驳。产生这种信念的原因之一是这些假设看起来很明显:第一个假设直线在两个点之间通过,第二个则任何线段都可以在两个方向上无限延长,第三个规定给定一个点和在一个间隔中,总是可以画出一个以点为中心并以间隔为半径的圆,第四个圆角彼此相等。但是,第五种假设不太明显:

由于内角α和β的总和小于180°,因此根据第五种假设,无限延伸的两条直线在该侧相遇。

“如果线段与两条直线相交,在同一侧上形成两个内角且总和小于两个直角,则这两条线(如果无限延长)在该边相交而小于两个直角的那一侧会合。”

 

 

尽管该语句未明确引用平行线,但当前第五种假设是“Parallel postulate”。鉴于苏格兰数学家约翰·Playfair(1748-1819)提出的第五种假设更为流行,这可以更好地理解,他证明了它等同于Euclid给出的假设:“给定一条直线和一个不属于该直线的点,则存在一条唯一的直线穿过与第一条平行的点“.

风景如画的英文版《欧几里得》’s元素,作者:奥利弗·伯恩(Oliver Byrne),1847年。

 

由于“平行假设”比其他假设更为复杂,因此,跟随欧几里得的数学家们尝试了多个世纪,试图从前面的四个假设中证明一切都是徒劳的。在19世纪,发生了一次数学史上的重大革命(以及人类思想方面的重大革命之一),这将在后面的内容中看到:两个不满足第五种假设但完全一致的新几何,被发现。在这些几何形状之一(称为球形几何形状)中,无法找到满足条件的平行线。球体的表面就是这种情况。直线成为大圆,其平面穿过球体的中心,并且由于所有大圆在两个直径相对的点(以在两极相交的陆地子午线的方式)彼此相交,因此没有“直线可以与另一个平行。[3] 在另一种称为双曲线几何的几何图中,穿过任意给定点的无数直线平行于另一条直线。 继续阅读